คำถามวิจัย

คะแนน mathach ของนักเรียนในแต่ละโรงเรียนมีความแตกต่างกันหรือไม่?

โมเดลการวิเคราะห์

ในกรณีนี้โมเดลการวิเคราะห์มี 2 ระดับ ได้แก่โมเดลระดับนักเรียน และโมเดลระดับโรงเรียนดังนี้

โมเดลระดับนักเรียน (student-level model)

\(mathach_{ij}=\beta_{0j}+r_{ij}\)

โมเดลระดับโรงเรียน (school-level model)

\(\beta_{0j}=\gamma_{00}+u_{0j}\)

จากสมการทั้งสองสามารถนำมารวมกันเพื่อเขียนเป็นโมเดลรวม (combined model) ได้ดังนี้

\(mathach_{ij}=\gamma_{00}+u_{0j}+r_{ij}\)

เมื่อ \(i = 1, 2, 3, ..., n_j\) และ \(j = 1, 2, 3, ..., J\)

จากสมการในโมเดลรวมข้างต้นจะเห็นว่ามีการระบุอิทธิพลที่มีต่อ mathach ของนักเรียน 2 ตัวได้แก่ อิทธิพลคงที่ (fixed effect) คือ \(\gamma_{00}\) ที่เป็นค่าเฉลี่ยผลสัมฤทธิ์รวม (grand mean) และอิทธิพลสุ่ม (random effect) คือ \(u_{0j}\) กับ \(r_{ij}\) ที่เป็นความแตกต่างระหว่างโรงเรียน และระหว่างนักเรียนภายในโรงเรียนตามลำดับ โดยที่ \(u_{0j} \sim N(0, \tau_{00})\) และ \(r_{ij} \sim N(0,\sigma^2)\)

Note: พารามิเตอร์ในโมเดลข้างต้นมีกี่ตัว อะไรบ้าง แต่ละตัวมีความหมายอย่างไร?

การประมาณค่าพารามิเตอร์ในโมเดลข้างต้นด้วยโปรแกรม R สามารถทำได้โดยใช้ใช้ฟังก์ชัน lmer() ซึ่งจะระบุโมเดลโดยอิงจากโมเดลรวม (combined model) จากค่าพารามิเตอร์ของหน่วยข้อมูลในระดับที่ 2 เท่านั้น ในกรณีข้างต้นจึงระบุเพียงพารามิเตอร์ fixed-effect (\(\gamma_{00}\)) และพารามิเตอร์ random-effect (\(u_{0j}\)) ดังนี้ lmer(math~1+(1|schoolid))

Linear mixed model fit by REML. t-tests use Satterthwaite's method [
lmerModLmerTest]
Formula: mathach ~ 1 + (1 | schoolid)
   Data: dat1

REML criterion at convergence: 47116.8

Scaled residuals: 
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-3.0631 -0.7539  0.0267  0.7606  2.7426 

Random effects:
 Groups   Name        Variance Std.Dev.
 schoolid (Intercept)  8.614   2.935   
 Residual             39.148   6.257   
Number of obs: 7185, groups:  schoolid, 160

Fixed effects:
            Estimate Std. Error       df t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  12.6370     0.2444 156.6473   51.71   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

การวิเคราะห์ null model จะให้สารสนเทศที่สำคัญคือปริมาณความแปรปรวนในตัวแปรตามที่เกิดขึ้นอันเนื่องมาจากตัวแปร (ที่ไม่ได้สังเกตค่าในโมเดลนี้) ในแต่ละระดับ (ระดับนักเรียน/ระดับโรงเรียน) ผลการวิเคราะห์ข้างต้นจะเห็นว่า ความแปรปรวนระดับนักเรียนมีค่าเท่ากับ \(\sigma^2 = 39.148\) และความแปรปรวนระดับโรงเรียนมีค่าเท่ากับ \(\tau = 8.614\) ผลการวิเคราะห์นี้ทำให้สามารถประมาณค่าสถิติที่สำคัญตัวหนึ่งคือ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ภายในกลุ่ม (intraclass correlation: ICC) ดังนี้

# Intraclass Correlation Coefficient

     Adjusted ICC: 0.180
  Conditional ICC: 0.180

ANOVA-like table for random-effects: Single term deletions

Model:
mathach ~ (1 | schoolid)
               npar logLik   AIC    LRT Df Pr(>Chisq)    
<none>            3 -23558 47123                         
(1 | schoolid)    2 -24052 48107 986.12  1  < 2.2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

ประมาณค่าเฉลี่ยของกลุ่ม (\(\beta_{0j}\))

จากโมเดลในระดับที่ 1 \(mathach_{ij}=\beta_{0j}+r_{ij}\) จะเห็นว่าพารามิเตอร์ \(\beta_{0j}\) คือพารามิเตอร์จุดตัดแกนซึ่งในกรณีนี้มีความหมายเป็นค่าเฉลี่ยผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ของแต่ละโรงเรียน (group mean) เมื่อ \(j=1,2,...,J\)

การประมาณค่าเฉลี่ยของกลุ่มดังกล่าวใน R สามารถเขียนคำสั่งได้ดังนี้

  (Intercept)    
 Min.   : 5.234  
 1st Qu.:10.731  
 Median :12.871  
 Mean   :12.637  
 3rd Qu.:14.463  
 Max.   :19.115  

จากผลการวิเคราะห์ข้างต้นจะเห็นว่าผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนเฉลี่ยในระดับโรงเรียนมีค่าอยู่ในช่วง 5.234 ถึง 19.115

การวินิจฉัยความเหมาะสมของโมเดลการวิเคราะห์

(1) normality

(2) homogeneity of variances

    schoolid        var       
 1224   :  1   Min.   :12.54  
 1288   :  1   1st Qu.:31.27  
 1296   :  1   Median :39.94  
 1308   :  1   Mean   :39.75  
 1317   :  1   3rd Qu.:47.10  
 1358   :  1   Max.   :71.93  
 (Other):154                  

[1] 1.690717

คำถามวิจัย

เศรษฐานะของนักเรียนในระดับโรงเรียนส่งผลต่อคะแนนเฉลี่ยผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนคณิตศาสตร์ของนักเรียนในระดับโรงเรียนหรือไม่่?

โมเดลการวิเคราะห์

เนื่องจากโมเดลการวิเคราะห์นี้จำเป็นต้องใช้ข้อมูลของตัวแปรอิสระในระดับโรงเรียน คือ meanses มาเป็นตัวแปรอธิบายความผันแปรที่เกิดขึ้นในค่าเฉลี่ยผลสัมฤทธิ์ในระดับโรงเรียน การวิเคราะห์จึงจำเป็นต้องมีการเตรียมชุดข้อมูลให้พร้อมก่อนการวิเคราะห์ด้วยการรวมชุดข้อมูล hsb1.sav และ hsb2.sav เข้าด้วยกัน ในโปรแกรม R อาจใช้ฟังก์ชัน merge() ดังนี้

  schoolid minority female    ses mathach
1     1224        0      1 -1.528   5.876
2     1224        0      1 -0.588  19.708
3     1224        0      0 -0.528  20.349
4     1224        0      0 -0.668   8.781
5     1224        0      0 -0.158  17.898
6     1224        0      0  0.022   4.583

  schoolid size sector pracad disclim himnty meanses
1     1224  842      0   0.35   1.597      0  -0.428
2     1288 1855      0   0.27   0.174      0   0.128
3     1296 1719      0   0.32  -0.137      1  -0.420
4     1308  716      1   0.96  -0.622      0   0.534
5     1317  455      1   0.95  -1.694      1   0.351
6     1358 1430      0   0.25   1.535      0  -0.014

'data.frame':   7185 obs. of  11 variables:
 $ schoolid: num  1224 1224 1224 1224 1224 ...
 $ size    : num  842 842 842 842 842 842 842 842 842 842 ...
 $ sector  : num  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
 $ pracad  : num  0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 ...
 $ disclim : num  1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 ...
 $ himnty  : num  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
 $ meanses : num  -0.428 -0.428 -0.428 -0.428 -0.428 -0.428 -0.428 -0.428 -0.428 -0.428 ...
 $ minority: num  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
 $ female  : num  1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ...
 $ ses     : num  -1.528 -0.588 -0.528 -0.668 -0.158 ...
 $ mathach : num  5.88 19.71 20.35 8.78 17.9 ...

เมื่อยุบรวมชุดข้อมูลแล้ว สามารถประมาณค่าพารามิเตอร์ในโมเดลโดยกำหนดโมเดลในฟังก์ชัน lmer() ด้วยหลักภาษาเหมือนเดิมดังนี้

Linear mixed model fit by REML. t-tests use Satterthwaite's method [
lmerModLmerTest]
Formula: mathach ~ meanses + (1 | schoolid)
   Data: dat

REML criterion at convergence: 46961.3

Scaled residuals: 
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-3.13480 -0.75256  0.02409  0.76773  2.78501 

Random effects:
 Groups   Name        Variance Std.Dev.
 schoolid (Intercept)  2.639   1.624   
 Residual             39.157   6.258   
Number of obs: 7185, groups:  schoolid, 160

Fixed effects:
            Estimate Std. Error       df t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  12.6494     0.1493 153.7425   84.74   <2e-16 ***
meanses       5.8635     0.3615 153.4067   16.22   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Correlation of Fixed Effects:
        (Intr)
meanses -0.004

ผลการวิเคราะห์ข้างต้นหมายความว่าอย่างไร??

คำถามวิจัย

เมื่อมีการควบคุมปัจจัยด้านเศรษฐานะให้คงที่ ผลสัมฤทธิ์ของนักเรียนในระดับโรงเรียนมีความแตกต่างกันหรือไม่ อย่างไร?

โมเดลการวิเคราะห์

เพื่อให้ค่าจุดตัดแกนมีความหมายและสามารถแปลความได้อย่างสมบูรณ์ การวิเคราะห์ความแปรปรวนร่วมจึงมักมีการ centering ตัวแปรควบคุมก่อนการวิเคราะห์ ดังนี้

การประมาณค่าพารามิเตอร์ในโมเดลการวิเคราะห์สามารถทำได้ดังนี้

Linear mixed model fit by maximum likelihood . t-tests use Satterthwaite's
  method [lmerModLmerTest]
Formula: mathach ~ ses.cen + (1 | schoolid)
   Data: dat

     AIC      BIC   logLik deviance df.resid 
 46728.4  46755.9 -23360.2  46720.4     7181 

Scaled residuals: 
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-3.09692 -0.73196  0.01945  0.75739  2.91423 

Random effects:
 Groups   Name        Variance Std.Dev.
 schoolid (Intercept)  8.612   2.935   
 Residual             37.005   6.083   
Number of obs: 7185, groups:  schoolid, 160

Fixed effects:
             Estimate Std. Error        df t value Pr(>|t|)    
(Intercept)   12.6494     0.2437  157.7181   51.90   <2e-16 ***
ses.cen        2.1912     0.1086 7023.0025   20.17   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Correlation of Fixed Effects:
        (Intr)
ses.cen 0.003 

โมเดล random effect ANCOVA มีลักษณะเกือบเหมือนกับโมเดล ANCOVA แบบปกติ ต่างกันเพียงอิทธิพลของตัวแปรอิสระแบบจัดประเภทที่มีต่อตัวแปรตามเป็นอิทธิพลแบบสุ่ม ดังนั้นข้อตกลงเบื้องต้นของโมเดล random effect ANCOVA จึงเหมือนกับโมเดล ANCOVA แบบปกติทุกประการ ข้อตกลงเบื้องต้นที่สำคัญคือ homogeneity of regression slope ที่กำหนดให้สัมประสิทธิ์ความชันของตัวแปร covariate มีค่าเท่ากันในแต่ละกลุ่มหรือระดับของปัจจัย

นิสิตคิดว่า assumption ดังกล่าวเป็นจริงในข้อมูลชุดนี้หรือไม่? จะตรวจสอบได้อย่างไร? และหากไม่เป็นจริงจะแก้ปัญหาอย่างไร?

คำถามวิจัย

• อิทธิพลของ ses ที่มีต่อ mathach มีความแตกต่างกันระหว่างโรงเรียนหรือไม่

• เมื่อควบคุมอิทธิพลสุ่มของ ses ให้คงที่ แล้ว mathach ในระดับโรงเรียนมีความแตกต่างกันหรือไม่

• คุณภาพและความเหลื่อมล้ำทางการศึกษาของแต่ละโรงเรียนเป็นอย่างไร

โมเดลการวิเคราะห์

การกำหนดโมเดลการวิเคราะห์ในฟังก์ชัน lmer() สามารถทำได้ในทำนองเดียวกัน ดังนี้

Linear mixed model fit by REML. t-tests use Satterthwaite's method [
lmerModLmerTest]
Formula: mathach ~ ses.cen + (1 + ses.cen | schoolid)
   Data: dat

REML criterion at convergence: 46714.2

Scaled residuals: 
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-3.09680 -0.73194  0.01858  0.75388  2.89928 

Random effects:
 Groups   Name        Variance Std.Dev. Corr
 schoolid (Intercept)  8.682   2.9465       
          ses.cen      0.694   0.8331   0.02
 Residual             36.700   6.0581       
Number of obs: 7185, groups:  schoolid, 160

Fixed effects:
            Estimate Std. Error       df t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  12.6493     0.2445 156.7391   51.73   <2e-16 ***
ses.cen       2.1932     0.1283 155.2180   17.10   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Correlation of Fixed Effects:
        (Intr)
ses.cen 0.012